国家开放大学23春常微分方程形考任务【标准答案】

周老师

形考使命1 常微分方程网上学习问答（占形考总分的10分）
试卷总分:100 得分:100
1.本课程的教育内容共有五章，其间第三章的称号是（?? ）．
A.根本定理
B.定性和安稳性理论简介
C.一阶线性微分方程组
D.初等积分法
2.本课程组织了6次构成性考核使命，第2次构成性考核作业的称号是（??? ）．
A.初等积分法中的方程可积类型的判别
B.榜首章初等积分法的构成性考核书面作业
C.第二章根本定理的构成性考核书面作业
D.榜首章至第四章的单项挑选题
3.网络课程主页的左边第3个节目称号是：（??? ）．
A.课程布告
B.课程信息
C.自立学习
D.系统学习
4.网络课程的“系统学习”节目中榜首章初等积分法的第4个常识点的称号是（?? ）．
A.别离变量法
B.常数变易法
C.一阶隐式微分方程
D.全微分方程与积分因子
5.网络课程的“视频讲堂”节目中教师讲课的电视课共有（?? ）讲．
A.17
B.18
C.19
D.20
6.网络课程主页的左边“考试温习”版块中第二个节目称号是：（??? ）．
A.各章操练汇总
B.模仿测试
C.温习辅导
D.考核阐明
7.请您依照课程的学习方针、学习要求和学习方法设计自己的学习方案，并鄙人列文本框中提交，字数要求在100—1000字．
形考使命2 初等积分法中的方程可积类型的判别（1）
试卷总分:100 得分:0
1.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
2.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
3.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
4.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页 ____ 方程的界说能够断定．
5.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
6.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
7.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
8.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
9.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
10.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
形考使命2 初等积分法中的方程可积类型的判别（2）
试卷总分:100 得分:0
1.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
2.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
3.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页的 ____ 方程界说能够断定．
4.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
5.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
6.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
7.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
8.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．
9.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页 ____ 方程的界说能够断定．
10.答：____ 方程 理由：由教材第 ____ 页公式 ____ 能够断定．

常微分方程学习活动3
榜首章 初等积分法的归纳操练
本课程构成性考核归纳操练共3次，内容首要别离是榜首章初等积分法的归纳操练、第二章根本定理的归纳操练、第三章和第四章的归纳操练，意图是经过归纳性操练作业，同学们能够查验自己的学习效果，找出把握的单薄常识点，要点温习，争夺赶快把握．
要求：首要请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完结后请在本次作业页面中点击“去完结”按钮进入相应网页界面完结使命，然后请将所做完的作业文档以附件的方式上载到课程上，随后教师会在课程中进行评分。

一、填空题
1．微分方程 是 阶微分方程．
2．初值疑问 的解所满意的积分方程是 ．
3．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
4．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
5．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
6．微分方程 的一切常数解是　　 　　．
7．微分方程 的常数解是 ．
8．微分方程 的通解为　　 　　．
9．微分方程 的通解是 ．.
10．一阶微分方程的一个特解的图画是　　 　　维空间上的一条曲线．
二、计算题
1．指出下列方程的阶数，是不是是线性方程：
（1）
（2）
（3）
2．用别离变量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
3．解下列齐次线性微分方程
（1）
（2）
4．解下列一阶线性微分方程：
（1）
（2）
5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
7．求下列方程的积分因子和积分：
（1）
（2）
8．求解下列一阶隐式微分方程
（1）
（2）
9．求解下列方程
（1）
（2）
三、证明题
1．设函数 ， 在 上接连，且 ， （a, b为常数）．求证：方程 的全部解在 上有界．
2．设 在 上接连，且 ，求证：方程
的全部解 ，均有 ．
四、应用题
1．按牛顿冷却规律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为 , 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到 所需的时刻.
2．重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由停止状况下滑，假如不计磨擦，试求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5 s后物体下滑的间隔，以及此刻的速度和加快度．













参阅回答
一、填空题
1．二 2． 3．一阶线性非齐次微分方程 4．全微分方程
5．恰当导数方程 6． 7．
8． 9． 10．二
二、计算题
1．（1）一阶，非线性；（2）四阶，线性； （3) 三阶，非线性.
2．（1）解 通积分为
（2）解 当 时，别离变量，两头取积分得
即
通积分为
别的， 是常数解，
注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解能够不求。
（3）解 当 时, 方程可变为 ，
通积分为 或 ,
上式代入初值条件 .
得 . 所以初值疑问解为 .
3．（1）解 明显 是方程的解.
当 时, 原方程可化为 . 令 , 则原方程可化为
, 即
易于看出, 是上面方程的解, 然后 是原方程的解.
当 时, 别离变量得, . 两头积分得 (C )
将 换成 , 便得到原方程的解 , (C ).
故原方程的通解为 （ 为恣意常数）及 .
（2）解 明显 是方程的解.
当 时, 原方程可化为 . 令 , 则原方程可化为
, 即
易于看出, 是上式的解, 然后 是原方程的解.
当 时, 别离变量得, . 两头积分得 (C ).
将 换成 , 便得到原方程的解 (C ). 故原方程的通解为 .
4．（1）解 先解齐次方程 . 其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得 .
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .
（2）解 先解齐次方程 . 其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得 .
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .
5．（1）解 明显 是方程解. 当 时, 两头同除 , 得
.
令 , 代入有 它的解为
所以原方程的解为 ，及
（2）解 明显 是方程解. 当 时, 两头同除 , 得
.
令 , 代入有
它的解为 ，
所以原方程的解 ， 及
6．（1）解 由于 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个 平面都接连可微, 无妨选择 . 故方程的通积分为
,
即 .
（2）解 由于 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个 平面都接连可微, 无妨选择 . 故方程的通积分为
,
即 .
7．（1）解 由于 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子.
由公式（1. 58）得积分因子 ，即
所以方程 为全微分方程.取 . 所以方程的通积分为 . 即 .
（2）解 由于 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程
由公式（1. 58）得积分因子 ，即
所以方程 为全微分方程. 取 . 所以通积分为 . 即 .
8．（1）解 将方程改写为
即 或
解 得通积分为： ,
又 是常数解.
（2）解 明显是方程的解. 当 时, 方程可变为
, 令 ,
则上面的式子可变为
. 解出u得, . 即 .
对上式两头积分得到方程的通解为
9．（1）解 令 , 则 . 代入原式得 .
解出 得 .
这是克莱洛方程，通解为 .
即 .
解之得 （ 为恣意常数）.
（2）解 化简得 ， 即
求积分得 .
.
三、证明题
1．证明 设y=y(x)是方程任一解，且满意y(x0)=y0, 则
因为 ，所以对恣意ε＞0,存在 ＞x0,使得x＞ 时 有
令 ，则
所以得到
又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取 ，
则
2．证明 设 是方程任一解，满意 ，该解的表达式为
取极限
=
四、应用题
1． 解 设物体在时间t的温度为 ，由题意 满意初值疑问
其间 为常数．
解得
设物体冷却到40℃所需时刻为 ，所以由 得
解得 52分钟.
2．解 取初始下滑点为原点， 轴正向笔直向下，设 时间速度为 , 间隔为 , 由题意 满意初值疑问
解得
再由 解得
所以得到5秒后， ， , ．

常微分方程学习活动4
第二章 根本定理的归纳操练
本课程构成性考核归纳操练共3次，内容首要别离是榜首章初等积分法的归纳操练、第二章根本定理的归纳操练、第三章和第四章的归纳操练，意图是经过归纳性操练作业，同学们能够查验自己的学习效果，找出把握的单薄常识点，要点温习，争夺赶快把握．
要求：首要请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完结后请在本次作业页面中点击“去完结”按钮进入相应网页界面完结使命，然后请将所做完的作业文档以附件的方式上载到课程上，随后教师会在课程中进行评分。
一、填空题
1. 方程 的任一非零解　　 与x轴相交．
2．李普希兹条件是确保一阶微分方程初值疑问解专一的　　 　　条件．
3. 方程 + ysinx = ex的任一解的存在区间必是 ．
4．一阶显式方程解的最大存在区间必定是 ．
5．方程 满意解的存在仅有性定理条件的区域是　　 　　．
6．方程 满意解的存在仅有性定理条件的区域是　　 　　．
7．方程 满意解的存在仅有性定理条件的区域是　　 　　．
8．方程 满意解的存在仅有性定理条件的区域是　　 　　．
9．方程 满意解的存在专一性定理条件的区域是　　 　　．
10．一个不可以延展解的存在在区间必定是 区间．
二、计算题
1．判别下列方程在如何的区域上确保初值解存在且专一？
（1） （2）
2．评论方程 在如何的区域中满意定理2.2的条件．并求经过 的全部解．
3．判别下列方程是不是有奇解？假如有奇解，求出奇解．
（1） （2）
三、证明题
1．试证明：关于恣意的 及满意条件 的 ，方程 的解 在 上存在．
2．设 在整个平面上接连有界，对 有接连偏导数，试证明方程 的任一解 在区间 上有界说．
3．设 在区间 上接连．试证明方程
的一切解的存在区间必为 ．
4．在方程 中，已知 ， 在 上接连，且 ．求证：对恣意 和 ，满意初值条件 的解 的存在区间必为 ．
5．假定方程 在全平面上满意解的存在专一性定理条件，且 ， 是界说在区间I上的两个解．求证：若  （ = 不可以能呈现，不然与解专一对立）．
令 = - ，那么
= -  0
由接连函数介值定理，存在 ，使得
= - = 0
即 =
这与解专一对立
6．证明 由已知条件知方程存在零解．该方程满意解的存在专一性定理条件．
设 是方程的一个非零解，假设它满意
， ，
因为零解也满意上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的专一性有 ，这与 对错零解对立．
7．证明 该方程在全平面上满意解的存在专一性定理及解的延展定理．
又 是该方程的两个常数解．
现取 ， ，记过点 的解为 ．一方面该解可向平面的无量远无限延展，另一方面又不能上下穿越 ，不然将损坏解的专一性．因而，该解只能在区域 内沿x轴两边无限延展，明显其界说区间必是 ．
8．证明 方程在全平面上满意解的存在仅有性定理的条件，又 是方程的常数解．
对平面就任取的
若 则对应的是常数解 其存在区间明显是
若 )则过该点的解能够向平面无量远无限延展，可是上下又不能穿越 和 ，所以解的存在区间必是 ．
四、应用题
1．解 首要, 由解析几许常识可知, 满意 的直线
都是所求曲线.
设 (x, y) 为所求曲线上的点，(X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为
.
明显有 此处 a 与 b 别离为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故
.
解出y, 得到克莱洛方程
,
通解为
所以 , 即 为所求曲线方程.
2．解 设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为
.
明显有 此处 a 与 b 别离为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故
,
即 . 解出 得
故曲线的方程为
消去 即的曲线方程为 .

形考使命5 榜首章至第四章的单项挑选题（占形考总分的10分）
试卷总分:100 得分:100
1.一阶线性微分方程{图}的积分因子是（??? ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
2.微分方程{图}的通解为y =（??? ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
3.一阶变量可别离微分方程{图}的积分因子是（??? ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
4.方程{图}满意解的存在仅有性定理条件的区域是(????? ).
A.全平面
B.y＞0的上半平面
C.y＜0的下半平面
D.除掉x轴的全平面
5.方程{图}过点(0, 0)的解为{图}，此解的存在区间是(????? ).
A.{图}
B.（－∞，＋∞）
C.{图}
D.{图}
6.线性非齐次方程组{图}的一切解(??? ).
A.构成一个n维线性空间
B.构成一个n +1维线性空间
C.不是线性空间
D.构成一个无量维线性空间
7.向量函数组在区间{图}上线性有关的是它们的朗斯基队伍式W(x) 在区间{图}上恒等于零的（???? ）．
A.既不充沛也步必要条件
B.必要但非充沛条件
C.充沛且必要条件
D.充沛但非必要条件
8.用待定系数法求方程{图}的非齐次特解{图}，{图}应设为（??? ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
9.方程的{图}的任一解的图画是三维空间{图}中的（??? ）．
A.一个曲面
B.一条曲线
C.一族曲面
D.一族曲线
10.用待定系数法求方程{图}的非齐次解{图}的方式应设为（??? ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
常微分方程学习活动6
第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的归纳操练
本课程构成性考核归纳操练共3次，内容首要别离是榜首章初等积分法的归纳操练、第二章根本定理的归纳操练、第三章和第四章的归纳操练，意图是经过归纳性操练作业，同学们能够查验自己的学习效果，找出把握的单薄常识点，要点温习，争夺赶快把握．
要求：首要请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完结后请在本次作业页面中点击“去完结”按钮进入相应网页界面完结使命，然后请将所做完的作业文档以附件的方式上载到课程上，随后教师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．若A(x)在(-∞,+∞)上接连，那么线性齐次方程组 ， 的任一非零解在 空间 与x轴相交．
2．方程组 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线．
3．向量函数组Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性有关的 条件是它们的朗斯期队伍式W(x)=0．
4．线性齐次微分方程组 ，的一个根本解组的个数不能多于 个．
5．若函数组 在区间 上线性有关，则它们的朗斯基队伍式 在区间 上 ．
6．函数组 的朗斯基队伍式 是 ．
7．二阶方程 的等价方程组是 ．
8．若 和 是二阶线性齐次方程的根本解组，则它们 一起零点．
9．二阶线性齐次微分方程的两个解 , 变成其根本解组的充要条件是 ．
10． 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为　　 个．
11．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上接连，则它的任一非零解在xOy平面上 与x轴横截相交．
12．二阶线性方程 的根本解组是　　 　　．
13．线性方程 的根本解组是 ．
14．方程 的一切解构成一个 维线性空间．
15．n阶线性齐次微分方程的一切解构成一个 维线性空间．
二、计算题
1．将下列方程式化为一阶方程组
（1）
（2）
2．求解下列方程组：
（1） （2）
3．求解下列方程组：
（1） （2）
4．求解下列方程组：
（1） （2）
5．已知方程 的一个解 ，求其通解．
6．试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解
（1） （2）
7．试求下述各方程满意给定的初始条件的解：
（1） ， ，
（2） ， ，
8．求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解：
（1）
（2）
三、证明题
1．设 矩阵函数 ， 在（a, b）上接连，试证明，若方程组 与 有一样的根本解组，则  ．
2．设在方程 中， 在区间 上接连且恒不为零，试证它的恣意两个线性无关解的朗斯基队伍式是在区间 上严厉单调函数．
3．试证明：二阶线性齐次方程的恣意两个线性无关解组的朗斯基队伍式之比是一个不为零的常数．
四、应用题
1．一质量为m的质点由停止开端沉入液体中，当下沉时，液体的反效果与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。















参阅回答
一填空题
1．不能 2．n + 1 3．必要 4．n + 1 5．恒等于零 6． 7． 8．没有 9．线性无关（或：它们的朗斯基队伍式不等于零） 10． 11．能够 12． 13． 14．2 15．n
二、计算题
1．（1） 解 ， （2）解
2．（1） 解 方程组的系数阵为 特征方程为：
det(A- E)= = ，
其特征根为 .
当 时, ， 其间a, b满意
(A- E) = = 0,
则有a + b = 0． 取a = 1, b = 1, 则得一特解
同理,当 时，
所以方程组的解为
（2）解 方程组的系数阵为 .
特征方程为: det(A- E)= =
特征根为 .
当 时, 其间a, b满意
(A- E) = =0,
故有 即 .
取 ，所以方程组对应于
=
故特征根 所对应的实解为
= , =
所以方程组的解为
=
3．（1）解 方程组的系数阵为 .
特征方程为: det(A- E)= =
特征根为
当 时, 其间a, b满意( = 0,
即
榜首个方程 有
令 ，则
所以由
解得通解 = .
（2） 解 系数阵为
特征方程为: det(A- E)= = .
特征根为 .
通解解为 .
4．解 方程组的系数阵为 ，其特征方程为：
det(A- E)= = .
特征根为 , 方程组有如下方式的解:
代入原方程组有
消去 得
令 , 则
令 , 则
所以方程组的解为
（2）解 首要求出相应齐次线性方程组的通解. 对应齐次方程的系数阵为 .
其特征方程为： det(A- E)= = .
特征根为
当 时， ，其间a, b满意(A- E) = =0, 则有a b = 0
取a = b =1, 则得一特解
同理,当 时，
所以对应齐次线性方程组的通解为
然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.
将 代入原方程组，得
解得 .
原方程组的特解为
所以原方程组的通解为
5．解 由通解公式 ， ，
6．（1） 解 特征方程为:
特征根为: 。它们对应的解为:
方程通解为: .
（2） 解 特征方程为:
特征根为:
它们对应的解为:
方程通解为: .
7．（1） 解 特征方程为: .
特征根为: ，方程通解为:
由初始条件有: ,解得 .
所以方程的初值解为: .
（2）解 特征方程为: .
特征根为: ，方程通解为:
由初始条件有: ,解得 .
所以方程的初值解为: .
8．（1）解 因为 ， ，
故齐次方程的通解为 .
因为 不是特征根，故已知方程有形如 的特解.
将它代入原方程，得, ，
所求通解为 .
（2）解 因为 ，
.
由于 不是特征根，故已知方程有形如
的特解．将上式代入原方程，可得
，
所求通解为
.
三、证明题
1．证明 设 为根本解矩阵, 由于根本解矩阵是可逆的,
故有
所以 .
2．证明 设w(x)是方程的恣意两个线性无关解的朗斯基队伍式，则 且 有 ， .又由于 在区间 上接连且恒不为零,然后对 , 或 ,所以, 在 上恒正或恒负,即w(x)为严厉单调函数.
3．证明 设两个线性的解组的朗斯基队伍式别离为
， ，且 ，
所以有 .
四、应用题
解 设液体的反效果与质点速度的份额系数为
则点拨的运动满意方程：
即
则(*)所对应的齐次方程的通解为：
又 是齐次方程的特征根,故特解方式为：
代入(*)式得：
所以
由 得
故