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福师23秋《实变函数》在线作业一【标准答案】

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发表于 2023-11-10 16:07:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
福师《实变函数》在线作业一-0002
        试卷总分:100 得分:100
        一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分)
        1.共同收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
       
        2.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.
       
        3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
       
        4.测度为零的集称为零测集.
       
        5.f在[a,b]上为增函数,则f的导数f'∈L1[a,b].
       
        6.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集.
       
        7.对恣意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有肯定接连性.
       
        8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
       
        9.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx+∞}f(x)=0.
       
        37.若f_n与g_n别离测度收敛于f与g,且f_nf,a.e.,则
        A.fn依测度收敛于f
        B.fn简直共同收敛于f
        C.fn共同收敛于f
        D.|fn|->|f|,a.e.
       
        41.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.
        A.mE=0
        B.0<mE<+∞
        C.mE=+∞
        D.0<=mE<=+∞
       
        42.若A为R^n中一疏集,则( )
        A.Ac为稠集
        B.A为开集
        C.A为孤立点集
        D.A不齐备
       
        三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
        43.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则
        A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
        B.若E1包括于E2,mE1<=mE2
        C.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
       
        44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
        A.广义R可积
        B.不是广义R可积
        C.L可积
        D.不是L可积
       
        45.若f不可以测,g可测,则下列正确的是( )
        A.f+g不可以测
        B.fg不可以测
        C.g^2可测
        D.|g|可测
       
        46.若f∈BV[a,b],则( )
        A.f为有界函数
        B.Vax(f)为增函数
        C.对恣意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
        D.f至多有可数个榜首类连续点
       
        47.设f为[a,b]上增函数,则f为( )
        A.简直处处可微
        B.L可积
        C.f'可积
        D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
       
        48.设E为R^n中的一个不可以测集,则其特征函数是
        A.是L可测函数
        B.不是L可测函数
        C.有界函数
        D.接连函数
       
        49.若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )
        A.m(A)<m(B)
        B.m(A)<=m(B)
        C.m(B\A)=m(A)
        D.m(B)=m(A)+m(B\A)
       
        50.若f,g是有界变差函数,则( )
        A.f+g有界变差函数
        B.fg有界变差函数
        C.f/g有界变差函数
        D.max(f,g)有界变差函数
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